Rank (Algeber)

E Rank ass an der Mathematik, méi genee an der Algeber, eng algebresch Struktur, déi d'Additioun an d'Multiplikatioun vun de ganzen Zuelen $\mathbb{Z}$ generaliséiert. All Kierper ass e Rank, mä an engem Rank muss et keng multiplikativ Inversë ginn an d'Multiplikatioun muss net kommutéieren.

Definitioun

E Rank ass en Ensembel $R$ mat zwou Operatiounen, $+$ (Additioun) an $\cdot$ (Multiplikatioun), déi follgend Axiomer erfëllen:

• $(R,+)$ ass eng kommutativ Grupp, d. h.:
  • D'Additioun ass assoziativ: $(a+b)+c=a+(b+c)$ fir all $a$, $b$, $c\in R$.
  • Et gëtt en Element $0\in R$, soudass $0+a=a+0=a$ fir all $a\in R$.
  • Et gëtt additiv Inversen: Fir all $a\in R$ existéiert $-a\in R$, soudass $a+(-a)=(-a)+a=0$.
  • D'Additioun ass kommutativ: $a+b=b+a$ fir all $a$, $b\in R$.
• $(R,\cdot )$ ass e Monoid, d. h.:
  • D'Multiplikatioun ass assoziativ: $(a\cdot b)\cdot c=a\cdot (b\cdot c)$ fir all $a$, $b$, $c\in R$.
  • Et gëtt en Element $1\in R$, soudass $1\cdot a=a\cdot 1=a$ fir all $a\in R$.
• D'Multiplikatioun ass distributiv vis-a-vis vun der Additioun, d. h.:
  • $a\cdot (b+c)=a\cdot b+a\cdot c$ fir all $a$, $b$, $c\in R$.
  • $(b+c)\cdot a=b\cdot a+c\cdot a$ fir all $a$, $b$, $c\in R$.

Wann d'Multiplikatioun och kommutativ ass, d. h. wann zousätzlech $a\cdot b=b\cdot a$ fir all $a$, $b\in R$ gëllt, nennt een $R$ e kommutative Rank.

Beispiller

De Prototyp vun engem (kommutative) Rank ass $(\mathbb{Z},+,\cdot )$, also den Ensembel vun de ganzen Zuelen mat der üblecher Additioun a Multiplikatioun.

All d'Kierper, z. B. $\mathbb{Q}$, $ℝ$ an $ℂ$, si kommutativ Réng.

Fir e kommutative Rank $R$ beschreift $R[X]$ de kommutative Rank vun alle Polynomen iwwer $R$.

Konzepter

En Ënnerrank $S$ vun engem Rank $R$ ass e Sousensembel $S\subseteq R$, dee selwer e Rank ass mat der selwechter Additioun, Multiplikatioun a multiplikativer Identitéit.

Kuckt och

• Grupp (Algeber)
• Kierper (Algeber)
• Monoid