Grupp (Algeber)

Schabloun:SkizzMathe Eng Grupp ass an der Algeber eng algebresch Struktur, déi Symmetrien a reversibel Transformatiounen duerstellt.

Definitioun

Eng Grupp ass eng Koppel $(G,\ast )$ vun engem net eidelen Ensembel $G$ an enger binärer Operatioun $\ast$ op $G$

$\ast :\{\begin{array}{ccc}G\times G& \to & G,\\ (a,b)& \mapsto & a\ast b,\end{array}$

déi follgend Axiomer erfëllt:

Fir all $a$, $b$, $c\in G$ gëllt:       $(a\ast b)\ast c=a\ast (b\ast c)$.	(Assoziativitéit)
Et gëtt en neutraalt Element $e\in G$, soudatt fir all $a\in G$ gëllt:       $a\ast e=e\ast a=a$.	(Existenz vum neutralen Element)
Fir all $a\in G$ existéiert en inverst Element $a^{-1}\in G$ mat       $a\ast a^{-1}=a^{-1}\ast a=e$.	(Existenz vum inversen Element)

Eng Grupp ass also e Monoid, an deem all Element en Inverse huet.

Abelsch Gruppen

Eng Grupp heescht abelsch oder och kommutativ, wa se zousätzlech zu den uewe genannten Axiomer nach déi follgend Bedéngung erfëllt:

$a$, $b\in G$ gëllt:       $a\ast b=b\ast a$.

(Kommutativitéit)

Am anere Fall, d. h. wann et Elementer $a$, $b\in G$ gëtt mat $a\ast b\ne b\ast a$, gëtt d'Grupp net-abelsch respektiv net-kommutativ genannt.

Kuckt och

• Kierper (Algeber)
• Monoid
• Rank (Algeber)