Grupp (Algeber)

Schabloun:SkizzMathe Eng Grupp ass an der Algeber eng algebresch Struktur, déi Symmetrien a reversibel Transformatiounen duerstellt.

Definitioun

Eng Grupp ass eng Koppel $(G,*)$ vun engem net eidelen Ensembel $G$ an enger binärer Operatioun $*$ op $G$

$*:\{\begin{array}{ccc}G\times G& \to & G,\\ (a,b)& \mapsto & a*b,\end{array}$

déi follgend Axiomer erfëllt:

Fir all $a$, $b$, $c\in G$ gëllt:       $(a*b)*c=a*(b*c)$.	(Assoziativitéit)
Et gëtt en neutraalt Element $e\in G$, soudatt fir all $a\in G$ gëllt:       $a*e=e*a=a$.	(Existenz vum neutralen Element)
Fir all $a\in G$ existéiert en inverst Element $a^{-1}\in G$ mat       $a*a^{-1}=a^{-1}*a=e$.	(Existenz vum inversen Element)

Eng Grupp ass also e Monoid, an deem all Element en Inverse huet.

Abelsch Gruppen

Eng Grupp heescht abelsch oder och kommutativ, wa se zousätzlech zu den uewe genannten Axiomer nach déi follgend Bedéngung erfëllt:

$a$, $b\in G$ gëllt:       $a*b=b*a$.

(Kommutativitéit)

Am anere Fall, d. h. wann et Elementer $a$, $b\in G$ gëtt mat $a*b\ne b*a$, gëtt d'Grupp net-abelsch respektiv net-kommutativ genannt.

Kuckt och

• Kierper (Algeber)
• Monoid
• Rank (Algeber)