Homothetie

Schabloun:SkizzMathe Eng Homothetie ass eng geometresch Transformatioun vum Raum oder Plang, déi eng Vergréisserung oder Verklengerung duerstellt. Si gëtt charakteriséiert duerch en Zentrum $\mathrm{\Omega }$ an e Faktor $k\in ℝ\setminus \{0\}$.

$h_{(\mathrm{\Omega },k)}:𝒫\to 𝒫$

        $M\mapsto h_{(\mathrm{\Omega },k)}(M)=M^{\prime },\overrightarrow{\mathrm{\Omega }{M}^{\prime }}=k\cdot \overrightarrow{\mathrm{\Omega }M}$

Analytesch Duerstellung (an 2 Dimensiounen)

$M(x,y),\mathrm{\Omega }(\alpha ,\beta ),k\in ℝ\setminus \{0\},h_{(\mathrm{\Omega },k)}(M)=M^{\prime }(x^{\prime },y^{\prime })$

$\overrightarrow{\mathrm{\Omega }{M}^{\prime }}=k\cdot \overrightarrow{\mathrm{\Omega }M}\iff |\begin{array}{c}{x}^{\prime }-\alpha =k(x-\alpha )\\ y^{\prime }-\beta =k(y-\beta )\end{array}\iff |\begin{array}{c}{x}^{\prime }=kx+(1-k)\alpha \\ y^{\prime }=ky+(1-k)\beta \end{array}$

Remarken:

• fir $k=1:h_{(\mathrm{\Omega },1)}=i{d}_{𝒫}$
• fir $k=-1:h_{(\mathrm{\Omega },-1)}=s_{\mathrm{\Omega }}$, Zentralsymmetrie mat $\mathrm{\Omega }$ als Zentrum.