Deeler

Schabloun:SkizzMathe Wann $a$ a $b=0$ ganz Zuele sinn, dann heescht $b$ en Deeler vun $a$, wann eng ganz Zuel $c$ existéiert, soudatt $a=b\cdot c$ gëllt. Et seet een an dësem Fall och $b$ deelt $a$, oder $a$ gëtt vu $b$ gedeelt, an et schreift een $a\mid b$.

Wann $a$ eng natierlech Zuel ass, dann heescht en Deeler $b$ vun $a$, deen $1<b<a$ erfëlt, en echten Deeler vun $a$. All Deeler, deen eng natierlech Zuel ass, gëtt positiven Deeler genannt. Aus der Definitioun ergëtt sech, datt fir jiddwer Deeler $b$ vun enger natierlecher Zuel $a$ d'Relatioun $b\le a$ gëllt.

Fir Deeler gëlle follgend Proprietéiten:

1) Jiddwer ganz Zuel $a=0$ ass hiren eegenen Deeler.

2) Jiddwer ganz Zuel gëtt vun der natierlecher Zuel 1 gedeelt.

3) Ass $b$ en Deeler vun $a$, dann ass och $-b$ en Deeler vun $a$.

4) D'Zuel 0 gëtt vun alle ganzen Zuelen $b=0$ gedeelt.

5) (Transitivitéit vun der Deelbarkeet) Wann d'Zuel $c$ d'Zuel $b$ deelt, an d'Zuel $b$ deelt d'Zuel $a$, dann deelt och d'Zuel $c$ d'Zuel $a$.

6) Deelt $c$ d'Zuelen $a$ a $b$, dann deelt $c$ och d'Zuelen $a+b$ an $a-b$.

Beweis: 1) an 2): Mer kënne schreiwen: $a=a\cdot 1=1\cdot a$.

3) Ass $b$ en Deeler vun $a$, sou existéiert no der Definitioun eng ganz Zuel $c$ fir déi $a=bc=(-b)(-c)$ gëllt. Well $-c$ och eng ganz Zuel ass, ass och $-b$ en Deeler vun $a$.

4) Et sief $a=0$, da gëllt fir all ganz Zuel $b=0$ d'Relatioun $a=b\cdot 0$, d. h. $b$ ass en Deeler vun $a$.

5) Et gëllt no Definitioun $b=ck$ an $a=bl$ mat passende ganzen Zuele $k,l$. Setze mer $b$ aus der éischter Formel an déi zweet an, da kréie mer $a=c(kl)$, woubäi $kl$ nees eng ganz Zuel ass, an demno $c$ en Deeler vun $a$ muss sinn.

6) Mat zwou passende ganzen Zuele $k,l$ sief $a=ck$ an $b=cl$. Da kréie mer $a+b=c(k+l)$ an $a-b=c(k-l)$, mat ganzen Zuele $k+l$ a $k-l$.

Kuckt och

• Deelbarkeet