Uerdnung (Mathematik)

An der Mathé ass eng Uerdnung eng binär Relatioun op engem Ensembel, déi et erlaabt Elementer ze vergläichen. Uerdnunge generaliséieren d'méi kléng oder gläich Bezéiung vun de reellen Zuelen.

Definitiounen

Eng partiell Uerdnung ass eng Koppel $(X,\le )$ aus engem Ensembel $X$ an enger binärer Relatioun $\le$ déi reflexiv, antisymmeetresch an transitiv ass, oder méi genee:

• (reflexiv) $x\le x$,
• (antisymmeetresch) $x\le y$ an $y\le x$ zesummen implizéieren datt $x=y$,
• (transitiv) $x\le y$ an $y\le z$ zesummen implizéieren datt $x\le z$.

Eng Relatioun déi just reflexiv an transitiv ass, nennt ee Preuerdnung. Eng symmeetresch Preuerdnung ass eng Equivalenzrelatioun. Eng partiell Uerdnung an där allen zwee Elementer vergläichbar sinn nennt een eng total Uerdnung.

Virgänger an Nofollger

Sief $\le$ eng partiell Uerdnung op $X$. Fir zwee ënnerschiddlech Elementer $x,y\in X$, also $x\ne y$, mat $x\le y$, nennt een $x$ e Virgänger vun $y$, an $y$ e Nofollger vun $x$. Wann et keen Element dertëscht gëtt, da schwätzt ee vun engem direkte Virgänger, respektiv Nofollger.

Minimal a maximal Elementer

Sief $Y\subseteq X$ e Sousensembel. En Element $m\in Y$ soudatt et keen $y\in Y$ gëtt soudatt $y<m$ nennt een e minimaalt Element. Wa souguer gëllt datt $m\le y$ fir all $y\in Y$, dann nennt een $m$ dat klengst Element vun $Y$ (wéinst der Antisymmetrie ass et eendeiteg wann et existéiert). Eng ënnescht Born vun $Y$ an $X$ ass en Element $x\in X$ soudatt $x\le y$ fir all $y\in Y$. Den Infimum vun $Y$ ass déi gréisst ënnescht Born (wa s'existéiert). Analog definéiert een e maximaalt Element, dat gréisst Element, eng iewescht Born an de Supremum.

Eng partiell Uerdnung an der allen zwee Elementer en Infimum an e Supremum hunn nennt een en Trelli. An deem Fall huet een zwou algebresch Operatiounen:

• $x\wedge y:=\inf (x,y)$
• $x\vee y:=\sup (x,y)$

Déi Operatioune sinn automatesch assoziativ a kommutativ, a si erfëllen déi sougenannt Absorptiounsgesetzer:

• $u\vee (u\wedge v)=u$
• $u\wedge (u\vee v)=u$