Quelltext vun der Säit Uerdnung (Mathematik) weisen

An der [[Mathematik|Mathé]] ass eng '''Uerdnung''' eng [[binär Relatioun]] op engem Ensembel, déi et erlaabt Elementer ze vergläichen. Uerdnunge generaliséieren d'[[Vergläich (Zuelen)|méi kléng oder gläich]] Bezéiung vun de reellen Zuelen.

== Definitiounen ==
Eng '''partiell Uerdnung''' ass eng Koppel <math>(X,\leq)</math> aus engem Ensembel <math>X</math> an enger binärer Relatioun <math>\leq</math> déi reflexiv, antisymmeetresch an transitiv ass, oder méi genee:

* (reflexiv) <math>x\leq x</math>,
* (antisymmeetresch) <math>x\leq y </math> an <math>y\leq x</math> zesummen implizéieren datt <math>x=y</math>,
* (transitiv) <math>x\leq y </math> an <math>y\leq z</math> zesummen implizéieren datt <math>x\leq z</math>.

Eng Relatioun déi just reflexiv an transitiv ass, nennt ee '''Preuerdnung'''. Eng symmeetresch Preuerdnung ass eng '''Equivalenzrelatioun'''. Eng partiell Uerdnung an där allen zwee Elementer vergläichbar sinn nennt een eng '''total Uerdnung'''.

== Virgänger an Nofollger ==
Sief <math>\leq</math> eng partiell Uerdnung op <math>X</math>. Fir zwee ënnerschiddlech Elementer <math>x,y\in X</math>, also <math>x\neq y</math>, mat <math>x\leq y</math>, nennt een <math>x</math> e '''Virgänger''' vun <math>y</math>, an <math>y</math> e '''Nofollger''' vun <math>x</math>. Wann et keen Element dertëscht gëtt, da schwätzt ee vun engem '''direkte''' Virgänger, respektiv Nofollger.

== Minimal a maximal Elementer ==
Sief <math>Y\subseteq X</math> e Sousensembel. En Element <math>m\in Y</math> soudatt et keen <math>y\in Y</math> gëtt soudatt <math>y<m</math> nennt een e '''minimaalt''' Element. Wa souguer gëllt datt <math>m\leq y</math> fir all <math>y\in Y</math>, dann nennt een <math>m</math> dat '''klengst''' Element vun <math>Y</math> (wéinst der Antisymmetrie ass et eendeiteg wann et existéiert). Eng '''ënnescht Born''' vun <math>Y</math> an <math>X</math> ass en Element <math>x\in X</math> soudatt <math>x\leq y</math> fir all <math>y\in Y</math>. Den [[Infimum]] vun <math>Y</math> ass déi gréisst ënnescht Born (wa s'existéiert). Analog definéiert een e '''maximaalt''' Element, dat '''gréisst''' Element, eng '''iewescht Born''' an de [[Supremum]].

Eng partiell Uerdnung an der allen zwee Elementer en Infimum an e Supremum hunn nennt een en [[Trelli]]. An deem Fall huet een zwou algebresch Operatiounen:

* <math>x\wedge y := \operatorname{inf}(x,y)</math>
* <math>x\vee y := \operatorname{sup}(x,y)</math>

Déi Operatioune sinn automatesch assoziativ a kommutativ, a si erfëllen déi sougenannt Absorptiounsgesetzer:

* <math>u \vee (u \wedge v)=u</math>
* <math>u \wedge (u \vee v)=u</math>

[[Kategorie:Mathematik]]