Quelltext vun der Säit Rank (Algeber) weisen

E '''Rank''' ass an der [[Mathematik]], méi genee an der [[Algeber]], eng [[algebresch Struktur]], déi d'Additioun an d'Multiplikatioun vun de ganzen Zuelen <math>\mathbb Z</math> generaliséiert. All [[Kierper (Algeber)|Kierper]] ass e Rank, mä an engem Rank muss et keng multiplikativ Inversë ginn an d'Multiplikatioun muss net kommutéieren.

== Definitioun ==
E Rank ass en [[Ensembel]] <math>R</math> mat zwou Operatiounen, <math>+</math> (Additioun) an <math>\cdot</math> (Multiplikatioun), déi follgend [[Axiom]]er erfëllen:

* <math>(R,+)</math> ass eng [[Grupp (Algeber)#Abelsch Gruppen|kommutativ Grupp]], d.&nbsp;h.:
** D'Additioun ass assoziativ: <math>(a+b)+c=a+(b+c)</math> fir all <math>a</math>, <math>b</math>, <math>c \in R</math>.
** Et gëtt en Element <math>0\in R</math>, soudass <math>0+a=a+0=a</math> fir all <math>a\in R</math>.
** Et gëtt additiv Inversen: Fir all <math>a\in R</math> existéiert <math>-a\in R</math>, soudass <math>a+(-a)=(-a)+a=0</math>.
** D'Additioun ass kommutativ: <math>a+b=b+a</math> fir all <math>a</math>, <math>b \in R</math>.
* <math>(R,\cdot)</math> ass e [[Monoid]], d.&nbsp;h.:
** D'Multiplikatioun ass assoziativ: <math>(a\cdot b)\cdot c=a\cdot (b\cdot c)</math> fir all <math>a</math>, <math>b</math>, <math>c \in R</math>.
** Et gëtt en Element <math>1\in R</math>, soudass <math>1\cdot a = a\cdot 1=a</math> fir all <math>a\in R</math>.
* D'Multiplikatioun ass distributiv vis-a-vis vun der Additioun, d.&nbsp;h.:
** <math>a\cdot(b+c)=a\cdot b+a\cdot c</math> fir all <math>a</math>, <math>b</math>, <math>c \in R</math>.
** <math>(b+c)\cdot a=b\cdot a+c\cdot a</math> fir all <math>a</math>, <math>b</math>, <math>c \in R</math>.

Wann d'Multiplikatioun och kommutativ ass, d.&nbsp;h. wann zousätzlech <math>a \cdot b = b \cdot a</math> fir all <math>a</math>, <math>b \in R</math> gëllt, nennt een <math>R</math> e ''kommutative Rank''.

== Beispiller ==
De Prototyp vun engem (kommutative) Rank ass <math>(\Z,+,\cdot)</math>, also den Ensembel vun de ganzen Zuelen mat der üblecher Additioun a Multiplikatioun.

All d'Kierper, z.&nbsp;B. <math>\Q</math>, <math>\R</math> an <math>\C</math>, si kommutativ Réng.

Fir e kommutative Rank <math>R</math> beschreift <math>R[X]</math> de kommutative Rank vun alle [[Polynom]]en iwwer <math>R</math>.

== Konzepter ==
En ''Ënnerrank'' <math>S</math> vun engem Rank <math>R</math> ass e Sousensembel <math>S\subseteq R</math>, dee selwer e Rank ass mat der selwechter Additioun, Multiplikatioun a multiplikativer Identitéit.

== Kuckt och ==
* [[Grupp (Algeber)]]
* [[Kierper (Algeber)]]
* [[Monoid]]

[[Kategorie:Algebresch Strukturen]]